Rulett szórás
A varianciamatematikaVarianciaAnnak mértéke, mennyire szóródnak az eredmények a várható érték körül. Nagy a teljes számnál, kicsi az egyszerű esélyeknél.Teljes cikk → (szórásnégyzet) négyzetgyöke: az eredmény és a várható érték közötti jellemző távolság.
$1 tétenként a σ egy teljes számnál 5,84, pirosnál 1,00. Egy játékmenethez szorozd meg a téttel és a pörgetések számának négyzetgyökével.
Ökölszabály
A játékmenetek nagyjából kétharmada a várható értéktől egy σ-n belül végez, 95%-uk kettőn belül. 100 pirostétPirosEgyszerű esély a 18 piros számra. Franciául: rouge.Teljes cikk → pörgetésnél $10-os téttel (várható −$27, σ = $100) a legtöbb játékmenet −$127 és +$73 között végez, szinte mind −$227 és +$173 között. Az ezen kívül eső eredmény semmit sem bizonyít, csak azt, hogy húszból egy játékmenet ilyen.
Miért √N
A várható veszteségmatematikaVárható veszteségA várható érték szorozva a megtett tétek összegével; az egy játékmenet vagy időszak alatt átlagosan elveszített összeg.Teljes cikk → N-nel arányosan nő, a szóródás √N-nel arányosan. Kis N-nél a szóródás dominál, és a játékmenetek enyhén lejtő pénzfeldobások. Nagy N-nél a veszteség lehagyja a szóródást. A fordulópont, ahol a várható veszteség egy szórássalmatematikaSzórásA variancia négyzetgyöke; az eredmény jellemző távolsága a várható értéktől.Teljes cikk → egyenlő, N = (σ/házelőny)² = (1/0,027)² ≈ 1370 pörgetésnél van egyszerű esélyeknél, és (5,84/0,027)² ≈ 46 800-nál teljes számoknáltétTeljes számEgyetlen szám, 35:1 arányban fizet.Teljes cikk →. E számok alatt a szerencse dönt, felettük a házelőny.
Alkalmazás
Hogy eldöntsd, szokatlan volt-e egy játékmenet, számold ki: (eredmény − EV)/σ. Egy pirosra $10-ral játszó játékos, aki 100 pörgetés után +$150-nel zár, (150 + 27)/100 = 1,77σ-nál tart, ami 25-ből egyszer fordul elő: szerencsés, de nem figyelemre méltó. Egy teljes számra játszó ugyanazzal a +$150-nel 0,3σ-nál tart: egy átlagos este. Ugyanaz a dolláreredmény más-más tétnél mást jelent.
Egy arány standard hibája
Ugyanez a számtan megmondja, hány pörgetés kell ahhoz, hogy a házelőny látszódjon az adatokban. Egy megfigyelt nyerési arány standard hibája √(p(1 − p)/N). Pirosnál N = 1000 esetén: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Egy szabályos érme és a piros között a különbség 1,35%, így 1000 pörgetés után még nem tudod megbízhatóan megkülönböztetni őket. 10 000 után a standard hiba 0,5%, és már igen. Ezért kell a kerék torzításának kimutatásához is olyan sok pörgetés.
Óvatosan a ferdeséggel
A teljes számos eredmények egy rövid játékmenetben messze nem normális eloszlásúak: a legtöbb játékmenet egyenletes −$10 pörgetésenként, időnként +$350-os ugrásokkal. A ±1σ-szabály a szóródást helyesen írja le, az alakot viszont rosszul, amíg N el nem éri a százas nagyságrendet. Az egyszerű esélyeknéltétEgyszerű esélyPiros/fekete, páratlan/páros, nagy/kicsi. 18 szám, 1:1 arányban fizet.Teljes cikk → a normális közelítés körülbelül 30 pörgetéstől jó.
Képlet
Kérdések
Azt bizonyítja, hogy körülbelül 40 játékmenetet játszottál, vagy te voltál a negyvenből az az egy szerencsés. Ismételd meg.
Egyre kevésbé ingadozik: az átlag standard hibája σ/√N. N = 10 000-nél a tét 1%-a.
Játékos matek
Előbb próbáld meg magad. Minden megoldás össze van csukva; nyisd ki, ha készen állsz.
Egy európai kerék 100 pörgetése alatt egy pirosratétPirosEgyszerű esély a 18 piros számra. Franciául: rouge.Teljes cikk → tett egységpénzEgységAz alaptét, amelyben egy rendszer vagy egy játékos számol. A progressziókat egységekben írják le, hogy bármelyik asztalon alkalmazhatók legyenek.Teljes cikk → legalább 51 nyeréssel van nyereségben, egy teljes számratétTeljes számEgyetlen szám, 35:1 arányban fizet.Teljes cikk → tett egység pedig akkor, ha a száma legalább 3-szor talál. Becsüld meg mindkét esélyt a haranggörbével, aztán vesd össze őket a pontos válaszokkal.
A megoldás megjelenítése
Válasz Piros: a haranggörbe 35,6%-ot ad, a pontos válasz 35,5%. A teljes szám: a haranggörbe 55,0%-ot ad, a pontos válasz 50,9%. A rövidítés a pirosnál működik, az egyetlen számnál téved.
Piros: a nyerések átlaga 100 × 18/37 = 48,6, a szórás √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. Nyereség 51 vagy több nyerésnél van; a félút, 50,5, 0,37 szórással van az átlag fölött, és a haranggörbe e fölé 35,6%-ot tesz. Az 51, 52 … 100 nyerés pontos esélyeinek összege 35,5%.
Teljes szám: a találatok átlaga 100/37 = 2,70, a szórás √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Három vagy több találat 2,5 fölött van, 0,12 szórással az átlag alatt: a haranggörbe szerint 55,0%. Pontosan 1 mínusz a 0, 1 és 2 találat esélye, 6,5% + 17,9% + 24,7%, ami 50,9%-ot hagy.
A haranggörbéhez sok eredmény kell az átlag mindkét oldalán. A pirosnak 100 pörgetés után megvan; egy számnak, amely átlagosan háromnál kevesebbszer talál, nincs. A görbe még a „nincs találat” esetre is 8,7%-ot ad, ahol a valódi esély 6,5%. Taylor (2021) ugyanígy állítja egymás mellé a binomiális eloszlást és a haranggörbét.
Egy kis humor
Húszból egy játékmenet két szigmán kívül esik. Valaki mindig a farokban van.
Források
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.