Feladat: Az asztallimit
$10-os Martingale-rendszer egy $500-os limitű asztalon. Milyen gyakran törik meg, mennyit veszít, amikor megtörik, és segít-e a limit emelése?
Hat egymást követő veszítés megtöri: ciklusonként 1,8%, a 100 pörgetéses játékmenetek nagyjából 60%-ában. A törés $630-ba kerül. Ha a limitet $5000-ra emelik, a törés ritkább lesz (ciklusonként 0,25%) és nagyobb ($5110). A megtett dolláronkénti várható veszteség bármely limitnél 2,70%.
A feladat
Egy játékos $10-t tesz a pirosratétPirosEgyszerű esély a 18 piros számra. Franciául: rouge.Teljes cikk →, minden veszítés után dupláz, nyerés után visszaáll. Az asztali maximum $500. (a) Hány egymást követő veszítés töri meg a progressziótstratégiaProgresszióMinden szabály, amely a korábbi eredmények alapján változtatja a tétet. A negatív progressziók veszteség után emelik, a pozitívak nyerés után.Teljes cikk →? (b) Mekkora ennek valószínűségematematikaValószínűségEgy kimenetel esélye, 0-tól 1-ig vagy 0%-tól 100%-ig. Egy szám: 1/37 = 2,70%.Teljes cikk → ciklusonként? (c) Mennyi vész el a törésnél? (d) Hogyan változtat a válaszokon egy $5000-os limit? (e) Tesz-e bármely limit nyereségessé a rendszert?
Megoldások: (a)–(c)
Tétek: 10, 20, 40, 80, 160, 320. A hetedik 640 > 500 lenne, így hat veszítés megtöri. (b) p(veszítés) = 19/37 a pirosra; (19/37)⁶ = 0,0183, ciklusonként nagyjából 1,8%. Egy ciklus átlagosan nagyjából két pörgetésig tart, így egy 100 pörgetéses játékmenetben durván 50 ciklus van, és p(legalább egy törés) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, ami 63 alapegységpénzEgységAz alaptét, amelyben egy rendszer vagy egy játékos számol. A progressziókat egységekben írják le, hogy bármelyik asztalon alkalmazhatók legyenek.Teljes cikk →, szemben azzal a $10-ral, amelyet a ciklus nyerni próbált.
Megoldás: (d)
$5000-nál: a tétek 2560-ig engedélyezettek; a tizedik tétet, az 5120-at elutasítják. Kilenc veszítés töri meg: (19/37)⁹ ≈ ciklusonként 0,25%, a 100 pörgetéses játékmenetek nagyjából 11%-ában. Veszteség a törésnél: 10 + 20 + … + 2560 = $5110. A játékos ritkább katasztrófát vett egy nagyobb árán. Sok játékmenet alatt a törések várható költsége p × veszteség ≈ 0,0183 × 630 = ciklusonként $11,5 az $500-os limitnél, és 0,0025 × 5110 = $12,8 $5000-nál; kerekítési hibán belül ugyanaz a szám, és ez a ciklus várható veszteségematematikaVárható veszteségA várható érték szorozva a megtett tétek összegével; az egy játékmenet vagy időszak alatt átlagosan elveszített összeg.Teljes cikk → mínusz az a $10, amelyet a nyerő ciklusok hoznak.
Megoldás: (e)
Nem. A ciklusonkénti várható veszteség = (a ciklus várható teljes tétje) / 37, bármely limitnél, mert minden tét önmaga −1/37-e. A limit csak azt dönti el, hogyan oszlik meg a veszteség sok kis nyerés és néhány nagy veszteség között. Limit nélkül és végtelen bankrollal (játékra szánt kerettel)pénzBankrollA játékra félretett teljes összeg. A bankrollkezelés annak eldöntése, mennyit kockáztatsz belőle tétenként és játékmenetenként.Teljes cikk → a progresszió „működne”, abban az értelemben, hogy sosem törne meg, és közben korlátlan összeget tenne fel, e korlátlan összeg 2,70%-ának megfelelő várható veszteséggel. Nem az asztallimitasztalAsztallimitA megengedett minimum- és maximumtét. A maximum az, ami megállítja a duplázó progressziókat.Teljes cikk → akadályozza meg, hogy a Martingale-rendszerstratégiaMartingaleProgresszió, amely minden veszteség után megduplázza a tétet. Hogy mit tesz és mit nem, azt a Stratégia rovatban találod.Teljes cikk → működjön. Hanem a számtan.
Két valódi asztal
Thorp példája egy $1-os asztal $1000-os maximummal, ahol a játékos dollárról dollárra remél $30-t nyerni a vacsorára. Az 1, 2, 4 … 512 tétek tíz tétet engednek meg, így tíz egymást követő veszítés megtöri a progressziót: európai keréken 785 ciklusból egyszer (amerikain 613-ból egyszer), $1023-os áron. Harminc ciklus az esetek 96,2%-ában mind sikerül. A maradék 3,8% nagyjából $1000-t veszít, és az este átlagos eredménye −$9,17, ami pontosan 1/37-e annak a $339-nak, amelyet a harminc ciklus átlagosan feltesz. Egy $5-os asztal $2000-os maximummal sem más: az $1280-ig terjedő tétek kilenc tétet engednek meg, és a törés európai keréken 403 ciklusból egyszer jön (amerikain 323-ból egyszer), és $2555-ba kerül.
Egy gazdag játékos
Adjunk a progressziónak alacsony limit helyett mély bankrollt: 1000 egység, egyegységes alaptét és 1000 pörgetés a pirosra, és újrakezdés egy egységről, valahányszor a következő duplázás több, mint ami maradt. Egymillió ilyen estét szimuláltunk. Európai keréken 52% végez nyereségben, 21% mindent elveszít, az átlagos eredmény pedig −124 egység. Még egy zérókerékZéróAz egyetlen zöld rekesz, amelyet sem egyszerű esély, sem tucat, sem oszlop nem fed le; a házelőny forrása. Más néven: egyetlen zéró, 0.Teljes cikk → nélküli játékban is, ahol minden tét igazságos, csak nagyjából 60% végezne nyereségben. A szokásos este egy kis nyerés; az átlagot azok az esték fizetik meg, amelyek nullán érnek véget.
A tanulság
A kaszinók a saját varianciájukmatematikaVarianciaAnnak mértéke, mennyire szóródnak az eredmények a várható érték körül. Nagy a teljes számnál, kicsi az egyszerű esélyeknél.Teljes cikk → korlátozására állítanak fel limiteket, nem a rendszerek legyőzésére. A Martingale-rendszer legyőzése szívesen vett mellékhatás, és a számtan amúgy is legyőzné. Aki azt hiszi, hogy a limit a probléma, az megtalálta a szakadékot, és összetévesztette a lejtővel.
Képlet
Kérdések
Lehetővé teszi, hogy egy magasabb limitig kitarts, ahol a törés ritkább és nagyobb. A dolláronkénti várható veszteség változatlan.
Tétek: 10, 30, 70, 150, 310: az $500-os limitet öt veszítés után éri el, és a törés $570-ba kerül. Ugyanaz a 2,70%.
Hogy egyetlen játékos se tehessen fel többet, mint amennyit a kaszinó tartaléka kényelmesen ki tud fizetni. Varianciakezelés.
Játékos matek
Előbb próbáld meg magad. Minden megoldás össze van csukva; nyisd ki, ha készen állsz.
Egy Martingale-rendszerstratégiaMartingaleProgresszió, amely minden veszteség után megduplázza a tétet. Hogy mit tesz és mit nem, azt a Stratégia rovatban találod.Teljes cikk → $100-ral indul pirosratétPirosEgyszerű esély a 18 piros számra. Franciául: rouge.Teljes cikk →, és ciklusonként legfeljebb n tétet enged meg magának: n egymás utáni veszteség után feladja, és újrakezdi. Írd fel egy ciklus átlagos eredményét n függvényében, és számold ki 5, 6 és 7 tétre európai keréken.
A megoldás megjelenítése
Válasz Az átlag 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 tétre −$14,26, 6-ra −$17,35, 7-re −$20,52. Ha több tétet engedsz meg, az átlagos ciklus rosszabb lesz, nem jobb.
Egy ciklus $100-t nyer, hacsak mind az n tét nem veszít, ami qⁿ eséllyel történik meg, ahol q = 19/37. Ha mind veszít, a 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ tétek összege 100 × (2ⁿ − 1). Az átlag tehát 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Itt 2q = 38/37, kicsivel több 1-nél, így (2q)ⁿ n-nel nő, és az átlag csökken: n = 5 esetén 1,1426 és −$14,26; n = 6 esetén 1,1735 és −$17,35; n = 7 esetén 1,2052 és −$20,52. A hosszabb létra ritkábban veszít, a ciklusok 3,6%-ában, 1,8%-ában és 0,9%-ában, de minden veszteség kétszer akkora, és ciklusonként több pénz fordul meg az asztalon, minden tét 2,70%-ával.
Amerikai keréken 2q = 40/38, és a számok −$29,24, −$36,04 és −$43,20 (Taylor, 2021). Egy zérókerékZéróAz egyetlen zöld rekesz, amelyet sem egyszerű esély, sem tucat, sem oszlop nem fed le; a házelőny forrása. Más néven: egyetlen zéró, 0.Teljes cikk → nélküli játékban 2q = 1, és minden ciklus átlaga pontosan nulla, bármilyen hosszú a létra.
A „grand Martingale” veszteség után megduplázza a tétet, és hozzáad egy egységetpénzEgységAz alaptét, amelyben egy rendszer vagy egy játékos számol. A progressziókat egységekben írják le, hogy bármelyik asztalon alkalmazhatók legyenek.Teljes cikk →, így a tétek 1, 3, 7, 15, 31 … Mennyivel vagy nyereségben, ha az első nyerés az 1., 2., 3. vagy k-adik tétnél jön? $10-os egységgel és $500-os maximummal milyen gyakran szakad meg egy ciklus, és átlagosan mibe kerül egy ciklus?
A megoldás megjelenítése
Válasz A k-adik tétnél jövő nyerés k egység nyereséget hagy: +1, +2, +3 és így tovább. $10 és $500 mellett a ciklus öt veszteség után szakad meg, a ciklusok 3,57%-ában, −$570-nal. Egy ciklus átlagosan $2,32-t veszít $85,73 feltett összegből: 2,70%.
A k-adik tét 2ᵏ − 1 egység: 1, 3, 7, 15, 31. Az első k − 1 tét összege 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. A k-adik tét nyerése 2ᵏ − 1-et fizet, így a ciklus (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k egység nyereséggel zárul: a nyerés előtti minden veszteségért egy plusz egység.
$10-os egységnél a tétek $10, $30, $70, $150 és $310; a következő, $630, meghaladja az $500-os maximumot. Öt egymás utáni veszteség, (19/37)⁵ = 3,57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570-ba kerül.
Átlag: a nyerések $10 × k-t hoznak (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 eséllyel, k = 1-től 5-ig, a megszakadás 3,57% eséllyel $570-t visz el; együtt −$2,32. A feltett pénz ciklusonként átlagosan $85,73, és 2,32/85,73 = 2,70%. Az ugyanennél az asztalnál játszott közönséges Martingale-rendszer hat veszteség után szakad meg, a ciklusok 1,83%-ában, −$630-ral, és $64,20 feltett összegből $1,74-et veszít: megint 2,70%.
Egy játékos Martingale-rendszert tervez pirosra, $1-os kezdőtéttel, egy $1000-os limitű asztalnál, így tíz tét lehetséges: $1, $2, $4 és így tovább $512-ig. Milyen gyakran veszíti el egy ciklus mind a tízet, átlagosan mennyi ideig tart, mire ez bekövetkezik, és milyen gyakran végződik így egy 200 tétes este?
A megoldás megjelenítése
Válasz Egy ciklus körülbelül 784-ből egyszer veszíti el mind a tízet, ami $1023-ba kerül. Ez átlagosan körülbelül 1600 tét, és egy 200 tétes este az esetek körülbelül 11%-ában ütközik falba. Egy ciklus átlagosan így is $0,31-et veszít $11,31 feltett összegből: 2,70%.
Egy pirosra tett tét 19/37 eséllyel veszít, a zérót is beleértve. Tíz egymás után: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, körülbelül 784-ből 1. Az 1 + 2 + 4 + … + 512 tétek összege $1023.
Egy ciklus átlagosan 2,05 tétig tart, így 784 ciklus körülbelül 1600 tét. Pörgetésről pörgetésre számolva tíz egymás utáni veszteség 200 tétben valahol az esetek 11,3%-ában fordul elő.
A katasztrófák között a játékos ciklusonként $1-t nyer: körülbelül $783-t a rossz ciklus előtt, utána −$1023, az egész szakaszon körülbelül −$240. Ciklusonként: 1 × (1 − 0,00128) − 1023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Ciklusonként feltett pénz: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. És −0,31/11,31 = −2,70%.
Hasonlítsd össze egy $10-os kezdőtéttel $500-os limitnél, hat téttel: a fal 55 ciklusból egyszer jön, és egy 200 tétes este az esetek 84%-ában beleütközik. A magasabb limit ritkábbá és nagyobbá teszi az összeomlást, nem olcsóbbá.
Egy kis humor
Ritkább és nagyobb, minden limitnél. A szorzat állandó.
Források
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.