Csődkockázat
Annak a valószínűsége, hogy elveszíted a teljes bankrollodat, mielőtt elérnéd a célodat.
Egyszerű esélyeknél a csődkockázat a játékos csődjének képletét követi. $500 bankrollal, $10-os tétekkel és $600-os céllal az esetek körülbelül 57%-ában eléred a célt, a többiben elfogy a pénzed.
A kérdés
Van egy a egységbőlpénzEgységAz alaptét, amelyben egy rendszer vagy egy játékos számol. A progressziókat egységekben írják le, hogy bármelyik asztalon alkalmazhatók legyenek.Teljes cikk → álló bankrollodpénzBankrollA játékra félretett teljes összeg. A bankrollkezelés annak eldöntése, mennyit kockáztatsz belőle tétenként és játékmenetenként.Teljes cikk → (játékra szánt keret), és a + b egységre szeretnéd növelni, egyszerre egy egységet téve egy egyszerű esélyretétEgyszerű esélyPiros/fekete, páratlan/páros, nagy/kicsi. 18 szám, 1:1 arányban fizet.Teljes cikk →, amelynek nyerési valószínűségematematikaValószínűségEgy kimenetel esélye, 0-tól 1-ig vagy 0%-tól 100%-ig. Egy szám: 1/37 = 2,70%.Teljes cikk → p = 18/37, vesztési valószínűsége q = 19/37. Mekkora az esélye, hogy előbb éred el a célt, mint a nullát? A választ Pascal, Fermat és Huygens dolgozta ki az 1650-es években, és ez a valószínűségszámítás egyik legrégebbi eredménye.
A játékos csődjének képlete
P(cél elérése) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). A csődkockázatmatematikaCsődkockázatAnnak valószínűsége, hogy a teljes bankroll elvész, mielőtt elérnél egy célösszeget vagy pörgetésszámot.Teljes cikk → ennek egyre vett kiegészítése. q/p = 19/18 ≈ 1,0556 mellett az arány az egységek számával exponenciálisan nő, így a képlet keményen bünteti a kis egységeket: minél több tét kell a cél eléréséhez, annál többször fizeted meg útközben a 2,70%-os vámot.
Hogyan olvasd
A kisebb egységek ártanak. $500-t $10-os tétekkel megduplázni az esetek 6%-ában sikerül; egyetlen $500-os téttel az esetek 48,6%-ában. A merész játék – kevesebb és nagyobb tét – maximalizálja egy cél elérésének esélyét egy negatív várható értékű játékban, mert minimalizálja, hányszor érvényesül a házelőny. Ugyanakkor maximalizálja annak varianciájátmatematikaVarianciaAnnak mértéke, mennyire szóródnak az eredmények a várható érték körül. Nagy a teljes számnál, kicsi az egyszerű esélyeknél.Teljes cikk → (szórásnégyzetét) is, ami veled történik, és gyorsan véget vet az estének. A tétel neve „a merész játék optimális”, és Dubins és Savage bizonyította 1965-ben.
Ahol a probléma kezdődött
A kérdés régebbi a rulettnél. 1656-ban Pascal feladványt adott Fermat-nak: két játékos három kockával dob, mindketten 12 zsetonnal kezdenek; a 11-es dobás egy zsetont visz az egyik irányba, a 14-es a másikba. Mindketten megoldották, és Huygens, aki Pierre de Carcavi matematikus leveléből értesült róla, 1657-ben a valószínűségszámításról szóló első könyv ötödik feladataként közölte, a válasszal, bizonyítás nélkül. Tizenegyet 27-féleképpen lehet dobni, tizennégyet csak 15-féleképpen, így minden zseton 14-ből 9 esetben az első játékos felé mozdul, és a fenti képlet fejenként 12 zsetonnal körülbelül 1157-szer valószínűbbé teszi, hogy mindent megnyer, mint hogy mindent elveszít. Egy 2,70%-os házelőny jóval kisebb, de ugyanez a képlet mutatja meg, mit művel sok tét alatt.
Egy valódi merész tét
2004 áprilisában Ashley Revell, egy fiatal angol, szinte mindenét eladta, a ruháit is, és $135 300-ral elment a Las Vegas-i Plazába. Néhány kisebb tét után a teljes összeget egyszer, a pirosratétPirosEgyszerű esély a 18 piros számra. Franciául: rouge.Teljes cikk → tette. A golyófelszerelésGolyóA kis golyó, amelyet a rotor forgásával szemben indítanak el a pályán. A modern golyók ivorinból vagy teflonból készülnek, 18–21 mm-esek.Teljes cikk → a piros 7-esen állt meg, és $270 600-ral távozott. Egy dupla zéróskerékZéróAz egyetlen zöld rekesz, amelyet sem egyszerű esély, sem tucat, sem oszlop nem fed le; a házelőny forrása. Más néven: egyetlen zéró, 0.Teljes cikk → keréken ez az egyetlen pörgetés 47,37%-os esély volt, és átlagosan $7121-ba került neki: egyetlen tét 5,26%-os házelőnye. $10-os tétekre elosztva ugyanez a cél szinte reménytelen lett volna. A merész játék nem teszi jóvá a tétet; csak a lehető legrövidebbé.
Csődkockázat cél nélkül
Ha egyszerűen addig játszol, amíg el nem fogy a pénzed, vagy N pörgetés után abbahagyod, a kérdés így szól: „mekkora az esélye, hogy a bankrollom N pörgetésen belül eléri a nullát?”. Általános N-re nincs zárt képlet, de az oldal szimulátorai kiszámítják: egy $500-os bankroll pirosra $10-os tétekkel 100 pörgetés alatt szinte soha nem fogy el (1% alatt), 500 pörgetés alatt az esetek körülbelül 9%-ában elfogy, 5000 alatt pedig körülbelül 95%-ában. Megállási szabály nélkül a valószínűség 100%-hoz tart, és ez a házelőnymatematikaHázelőnyAz egyes tétekből a kaszinó által átlagosan megtartott rész: az európai rulettben 2,70%.Teljes cikk → hosszú távú változata.
- p10 −$500
- p25 −$500
- medián −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Hosszú távú konvergencia: A nagy számok törvénye a rulettben
Meddig, és mennyire előrébb
Két további klasszikus eredmény olyan kérdésekre válaszol, amelyeket a játékosok valóban feltesznek. Cél nélkül az azonos tétű egyszerű esélyek európai keréken átlagosan a bankroll minden egységére 37 pörgetésig tartanak ki, amerikain 19-ig, mert minden pörgetés átlagosan egy egység 1/37-ét viszi el (amerikai keréken 1/19-ét): 100 egység átlagosan 3700 pörgetésig tart, bár az ilyen játékmenetek fele 3134 pörgetésen belül véget ér (lásd: A játékmenet hossza és költsége). És bármekkora is a bankroll, európai keréken annak esélye, hogy valaha k egységgel előrébb legyél, (18/19)ᵏ. Ez egy egységre 95%, tízre 58%, de semmilyen bankroll, bármilyen mély is, nem ad fele-fele esélyt arra, hogy valaha 13 egységgel nyereségben legyél; amerikai keréken az esély (9/10)ᵏ, és 7 egységnél a fele alá esik.
A játékmenet hossza és költségeAmerikai rulettkerék és szabályok
Bankroll egy fele-fele esélyhez
Fordítsd meg a kérdést: mennyit kell hoznod ahhoz, hogy legalább fele-fele esélyed legyen egy adott összeg megnyerésére, mielőtt mindent elveszítesz? Kis nyereményhez nem sokat. Nagyobbhoz a szükséges bankroll meredeken nő, és egy ponton túl semmilyen bankroll sem elég, mert még egy végtelen is kevesebb mint fele-fele esélyt ad arra, hogy valaha ennyire előrébb jussál. Taylor (2021) másképp fogalmaz: amerikai keréken ahhoz, hogy fele-fele eséllyel elérj 100 egységet, 94-gyel kell kezdened, vagyis 94-et kockáztatsz 6 megnyeréséért. Európai keréken 88 kellene.
A gyakorlati tanulság
Döntsd el, mit akarsz elérni. Ha a cél egy adott nyeremény, tégy nagyot és keveset. Ha a cél egy hosszú este, tégy kicsit, és fogadd el, hogy a házelőny elviszi a 2,70%-át egy nagy forgalomnakpénzForgalomA játékmenet vagy időszak alatt megtett tétek teljes összege, az újra megtett nyereményeket is beleszámítva. Más néven: handle, action.Teljes cikk →. Ha mindkettő a cél, valamiből engedni kell, és ez általában a cél.
Képlet
Kérdések
A Martingale-rendszerstratégiaMartingaleProgresszió, amely minden veszteség után megduplázza a tétet. Hogy mit tesz és mit nem, azt a Stratégia rovatban találod.Teljes cikk → rövid játékmenetekben csökkenti, hosszúakban drámaian növeli. A tisztességes módja a csökkentésének az azonos tétes játékstratégiaAzonos tétes játékMinden pörgetésnél ugyanakkora tét. Ez az alapeset, amelyhez minden progressziót hasonlítanak.Teljes cikk → nagyobb egységgel.
A fenti képlet egyszerű esélyekre szól. Nagy varianciájú téteknél kis tétek mellett valószínűbb a csőd, és a cél elérése egyenetlenebbül történik; használd a kalkulátort.
Minden lépés a cél felé egy kicsit kevésbé valószínű, mint egy lépés a csőd felé; az arány a lépések számával kamatozik.
Játékos matek
Előbb próbáld meg magad. Minden megoldás össze van csukva; nyisd ki, ha készen állsz.
$100-od van, és $1000-t szeretnél, csak pirosratétPirosEgyszerű esély a 18 piros számra. Franciául: rouge.Teljes cikk → téve. Első terv: $1-ával teszel. Második terv: mindent felteszel, amíg át nem lépsz $500-t, utána csak annyit, amennyi az $1000 eléréséhez kell. Melyik terv a jobb, és mennyivel?
A megoldás megjelenítése
Válasz Messze a második. Az esetek körülbelül 9,0%-ában eléri az $1000-t, közel a méltányos 10%-hoz. Az első terv körülbelül 10²²-ből 7-szer sikerül.
Egy igazságos játékbanmatematikaIgazságos játékOlyan játék, amelyben egyik félnek sincs előnye: minden tét várható értéke nulla.Teljes cikk → $100-ból tízből egyszer érnéd el az $1000-t, bárhogy játszanál, mert a pénzed átlagos értéke $100 marad.
A házelőny minden tét 2,70%-át elviszi, így minél kevesebbet teszel fel összesen, annál közelebb maradsz a tízből egyhez. A második terv néhány tétben eldönti a dolgot: $100-ból $200 lesz, aztán $400, $800, és utána $200 elég. Az esetek körülbelül 9,0%-ában sikerül. Az első terv több ezer tétet igényel, mire a bolyongás véget ér, és a házelőny, amely egyenként kicsi, szinte biztos csőddé adódik össze.
Ez a Dubins–Savage-tétel legegyszerűbb alakja (Epstein, 2013): egy a háznak kedvező játékban annyit tégy fel, amennyi kell, és olyan kevésszer, amennyiszer csak lehet.
$500-od van, és $1000-t szeretnél, és amint megvan, abbahagyod. Kiválasztasz egyfajta tétet, és addig ismétled, amíg egyszer nem nyer, vagy el nem fogy a pénz. Melyik fajta adja a legjobb esélyt?
A megoldás megjelenítése
Válasz Egyetlen $500-os tét pirosra: 48,6%. Minden terv, amely kisebb tétekre osztja szét a pénzt, rosszabbul jár.
Válaszd meg úgy az egyes téteket, hogy egy nyerés elég legyen: $30 egy teljes számontétTeljes számEgyetlen szám, 35:1 arányban fizet.Teljes cikk → $1050-t nyer, $60 egy osztott tétentétOsztott tétKét szomszédos szám, 17:1 arányban fizet.Teljes cikk → $1020-t, és így tovább. Aztán számold ki, mekkora eséllyel nyer legalább egy tét, mielőtt elfogy a pénz. Tizenhat $30-os teljes szám mind (36/37)¹⁶ = 64,5% eséllyel nem talál, így az esetek 35,5%-ában érik el az $1000-t.
A táblázat minden tétet mutat. A piros a legjobb, mert egy tétből célba ér, így a házelőnyt egyszer fizeted, $500 után. A hatos sortétHatos sorHat szám két szomszédos sorban, 5:1 arányban fizet. Franciául: sixain.Teljes cikk → a második, mert csak hármat igényel. Egyetlen tucattétTucat1–12, 13–24 vagy 25–36, 2:1 arányban fizet.Teljes cikk → tét a legrosszabb, 12/37 esély; még ha $250-os egységekbenpénzEgységAz alaptét, amelyben egy rendszer vagy egy játékos számol. A progressziókat egységekben írják le, hogy bármelyik asztalon alkalmazhatók legyenek.Teljes cikk → játszod is, amíg $1000 vagy több nem lesz, a tucat csak az esetek 46,4%-ában ér célba.
Bollman (2024) ugyanezt a táblázatot állítja össze amerikai kerékre. A tucat sorában elírás van: 12/38 = 31,6% kellene, hogy álljon benne.
téttét × tétek számaaz $1000 elérésének esélyeTeljes szám$30 × 1635,5%Osztott tét$60 × 835,9%Utca$90 × 534,5%Sarok$125 × 436,7%Hatos sor$166, $166, $16841,2%Tucat$500 × 132,4%Piros$500 × 148,6%Egy egységet teszel pirosra pörgetésről pörgetésre, soha ki nem fogyó bankrollalpénzBankrollA játékra félretett teljes összeg. A bankrollkezelés annak eldöntése, mennyit kockáztatsz belőle tétenként és játékmenetenként.Teljes cikk →. Az első pörgetés után egy egységgel nyerésben vagy veszteségben vagy. Mekkora az esélye, hogy valaha is pontosan nullára jössz vissza?
A megoldás megjelenítése
Válasz 37-ből 36, 97,3%. Amerikai keréken 38-ból 36, 94,7%.
Ha az első pörgetés nyer (37-ből 18-szor), egy egységgel nyerésben vagy, és a házelőny minden végtelen játékmenetet lefelé húz, így előbb-utóbb újra átlépsz a nullán: ez biztos. Ha veszít (37-ből 19-szer), egy egységet kell felkapaszkodnod, és annak esélye, hogy valaha egy egységgel nyerésben leszel, 18/19 (lásd a fenti táblázatot).
Összesen: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Általában az esély 1 mínusz a pörgetés megnyerésének és elvesztésének esélye közötti különbség: európai keréken 1 − 1/37, amerikain 1 − 2/38. Egy zérókerékZéróAz egyetlen zöld rekesz, amelyet sem egyszerű esély, sem tucat, sem oszlop nem fed le; a házelőny forrása. Más néven: egyetlen zéró, 0.Teljes cikk → nélküli játékban a különbség semmi, és az esély 1: az állás mindig visszatér nullára. Epstein (2013) adja meg az általános szabályt.
Pascal 1656-os feladványa: két játékos három kockával dob, mindketten 12 zsetonnal kezdenek. Minden 11-es egy zsetont az első játékoshoz juttat, minden 14-es egyet a másodikhoz; a többi dobás nem számít. Mekkora eséllyel nyeri meg az első játékos mind a 24-et? És ha ehelyett pörgetésenként 1 egységet teszel pirosra egy barátod ellen, aki a bankot játssza, fejenként 12 egységgel, mekkora eséllyel nyered meg mind a 24-et?
A megoldás megjelenítése
Válasz Az első játékos körülbelül 1158-ból 1157-szer nyer. Te pirosra téve csak az esetek körülbelül 34%-ában nyered meg mind a 24 egységet.
Három kockával 27 módon lehet 11-et dobni és 15 módon 14-et, így minden elmozduló zseton 42-ből 27-szer, 14-ből 9-szer az első játékoshoz kerül. Ha mindkét fél 12-vel kezd, a mindent elnyerés esélye 1/(1 + r¹²), ahol r a másik fél esélyének és a tiédnek az aránya.
Az első játékosnál r = 5/9, és (5/9)¹² ≈ 0,00086, így az esély körülbelül 0,99914: 9¹² az 5¹²-hez, azaz 282 429 536 481 a 244 140 625-höz, körülbelül 1157 az 1-hez. Huygens pontosan ezeket a számokat nyomtatta ki 1657-ben.
Pirosnál a zéró miatt r = 19/18, és (19/18)¹² ≈ 1,913: az esélyed 1/2,913 ≈ 34,3%. Egy pénzérme 50%-ot adna. Az egyes tétek 2,70%-os házelőnye a sok tét során, amennyit a játék igényel, 16 százalékpontos különbséggé adódik össze.
Egy kis humor
A merész játék optimális. És gyorsan véget ér.
Források
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Levél Huygensnek, 1656. szeptember 28., arról a feladványról, amelyet Pascal adott Fermat-nak.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”