A Kelly-kritérium és a rulett
A Kelly-kritérium megmondja annak, akinek előnye van, mekkora tétet tegyen. A rulettre egyértelmű választ ad: semekkorát.
Kelly-tét = előny / kifizetési arány. Negatív előnynél a képlet negatív hányadot ad, ami azt jelenti: ne tégy. A kritérium attól még hasznos annak megértéséhez, miért méretezték úgy a tétjeiket a torzításra játszók, ahogy tették, és miért kell mindenki másnak a keret szerint méreteznie.
A kritérium
John Kelly (1956) azt kérdezte, hogyan méretezze a tétjeit egy ismert előnnyel rendelkező szerencsejátékos, hogy a bankroll (játékra szánt keret)pénzBankrollA játékra félretett teljes összeg. A bankrollkezelés annak eldöntése, mennyit kockáztatsz belőle tétenként és játékmenetenként.Teljes cikk → hosszú távú növekedése a lehető legnagyobb legyen. A válasz egy b az 1-hez fizető tétre, p nyerési valószínűséggelmatematikaValószínűségEgy kimenetel esélye, 0-tól 1-ig vagy 0%-tól 100%-ig. Egy szám: 1/37 = 2,70%.Teljes cikk → és q = 1 − p veszítési valószínűséggel: a bankroll f* = (bp − q) / b hányadát kell feltenni. Pozitív f* esetén ezt a hányadot tedd fel; nulla vagy negatív esetén ne tégy. Kelly a Bell Labsnél dolgozott, és „A new interpretation of information rate” című cikke Claude Shannon információelméletébe helyezte a problémát: az a szerencsejátékos, aki zajos vonalon kap tippeket, méltányos kifizetés mellett legfeljebb olyan ütemben növelheti a bankrollját, amilyen ütemben a vonal információt továbbít. 1961-ben Leo Breiman bebizonyította, hogy a Kelly szerinti tétrakás hosszú távon minden lényegesen eltérő stratégiát megelőz, és egy kitűzött célt nagyjából a lehető legrövidebb idő alatt ér el.
Alkalmazva a rulettre
PirosratétPirosEgyszerű esély a 18 piros számra. Franciául: rouge.Teljes cikk →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Teljes számra (straight up)tétTeljes számEgyetlen szám, 35:1 arányban fizet.Teljes cikk →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Minden standard tét negatív Kelly-hányadot ad, mert minden tét előnye negatív, és a növekedést maximalizáló tét nulla. A Kelly-kritérium formális módja annak kimondására, amit a házelőnyről szóló oldal mond: nincs olyan tétnagyság, amelynél egy negatív várható értékű tét növelné a bankrollt.
Ahol a Kelly-kritérium tényleg számított
A torzításra játszóknak volt előnyük, és volt egy méretezési problémájuk. Jaggernek, a García-Pelayo családnak és az Eudaemonoknak egyaránt el kellett döntenie, mennyit tegyen a mért előnyére: a túl kicsi tét elpazarolja az előnyt, a túl nagy pedig csődbe vihet, mielőtt az előny megmutatkozna. Egy 30-ból 1-szer kijövő rekeszrefelszerelésRekeszA rotor 37 számozott rekeszének egyike. Angolul még: slot, cup.Teljes cikk → a Kelly-kritérium pörgetésenként a bankroll 0,57%-át adja arra a számra: $10 000-ból nagyjából $57-t pörgetésenként, jellemzően körülbelül 0,054%-os növekedéssel pörgetésenként, vagyis 1000 pörgetés alatt ×1,7-tel. Az átlagos növekedés ennek kétszerese, pörgetésenként 0,11%, de a Kelly-kritérium a jellemző bankrollt célozza, nem az átlagosat, amelyet néhány szerencsés sorozat felfúj. A gyakorlatban a fél-Kelly a szokásos választás, mert az előny becslése bizonytalan.
Jellemző és átlagos
A jellemző és az átlagos bankroll közötti rés széles. Vegyünk egy rekeszt, amely 25-ből 1-szer jön ki: ez 44%-os előny, az a szám, amelyet Thorp az eszközére megad. A Kelly-kritérium a bankroll 1,26%-át teszi rá. 1000 pörgetés után a jellemző bankroll nagyjából 11,5-szeresére nőtt, míg az átlagos, amelyet néhány nagyon szerencsés sorozat felhúz, nagyjából 249-szeresére. Ha a Kelly-tétnél többet teszel, az átlag nő, a jellemző eredmény csökken: a Kelly-tét kétszeresénél a jellemző bankroll csak megduplázódik, a két és félszeresénél pedig zsugorodik, pedig minden tét továbbra is 44%-os előnnyel jár. A kevesebb kevésbe kerül: a fél tét a növekedés nagyjából háromnegyedét megtartja.
Amikor az előny csak becslés
A Kelly-kritérium feltételezi, hogy az előny ismert. Az asztalnál viszont becsült, és a becslés rendszerint túl magas. Epstein példája, amely Thorp 44%-ára épül, egy szám, amely egy duplazéróskerékZéróAz egyetlen zöld rekesz, amelyet sem egyszerű esély, sem tucat, sem oszlop nem fed le; a házelőny forrása. Más néven: egyetlen zéró, 0.Teljes cikk → kerék 1225 pörgetéséből 49-szer jött ki: 25-ből 1-szer, 44%-os előny, 1,26%-os Kelly-tét. Csakhogy egy szabályos duplazérós keréken 38 szám van, és közülük a leggyakoribb nagyjából kilencből egyszer éri el 1225 pörgetésben a 49-et vagy többet. Bármely feljegyzésben a leggyakoribb szám egyben az is, amelyiket a szerencse a legjobban segített, így még egy valóban torzított rekesz is jobbnak látszik a feljegyzésben, mint amilyen: ez a győztes átka. Ha az a rekesz valójában nem torzított, a Kelly-tét egyszerűen egy olyan tét, amely átlagosan 5,26%-ot veszít. A szokásos válasz: a Kelly-tétnek csak egy hányadát tenni fel, és tovább számolni, amíg az előny egy friss feljegyzésben is megmarad (lásd: Hogyan mutatható ki a kerék torzítása).
Emberek előnnyel
Ismerni az előnyt nem ugyanaz, mint jól használni. Haghani és Dewey (2016) 61 embernek adott fejenként $25-t, hogy fél órán át tegyenek egy érmére, amelyről azt mondták nekik, hogy az esetek 60%-ában fej, a nyereményt $250-ban maximálva (a felső határról a játékosok csak akkor értesültek, amikor elérték). A Kelly-kritérium szerint minden alkalommal a bankroll 20%-át kell fejre tenni, és a szerzők becslése szerint a 10–20%-os egyenletes tétek nagyjából az esetek 95%-ában elérnék a felső határt. A játékosoknak csak 21%-a jutott el odáig. 28% elveszített mindent, a 61-ből 18 egyetlen dobásra tett fel mindent, nagyjából egyharmaduk a kezdő $25 alatt végzett, az átlagos kifizetéspénzKifizetésAmit a nyertes tét visszaad, „X az 1-hez” formában megadva, a visszajáró téten felül.Teljes cikk → pedig $91 volt. A 61-ből csak öten hallottak korábban a Kelly-kritériumról. Előnnyel a tétek nagysága dönti el, megtartod-e; előny nélkül, mint egy szabályos keréknél, semmilyen nagyság nem segít.
Mit használj helyette
Előny nélkül a tétméretezés költségvetési kérdés, nem növekedési: tét = amennyit pörgetésenként hajlandó vagy elkölteni, az óránkénti keretből és az asztal tempójából levezetve (lásd a bankrollkezelésről szóló oldalt). A Kelly-kritérium hozzájárulása az átlagos játékos számára a válasza egyértelműsége: nulla. Minden, amit nulla fölött felteszel, a játék ára, amelyet te választasz, és nem valamilyen képlet optimalizál.
Megjegyzés a tört Kelly-tétről és a „pénzkezelésről”
A „Kelly a rulettre” néven árult rendszerek, amelyek tétenként a bankroll rögzített százalékát ajánlják, valójában azonos tétes játékstratégiaAzonos tétes játékMinden pörgetésnél ugyanakkora tét. Ez az alapeset, amelyhez minden progressziót hasonlítanak.Teljes cikk → zsugorodó téttel. A forgalompénzForgalomA játékmenet vagy időszak alatt megtett tétek teljes összege, az újra megtett nyereményeket is beleszámítva. Más néven: handle, action.Teljes cikk → 2,70%-át veszítik, és mivel a tét a veszteségekkel csökken, a csődöt lassúvá teszik, nem valószínűtlenné. Ésszerű módja annak, hogy a keret tovább tartson; de nem Kelly-kritérium, mert az azt mondaná: hagyd abba.
Képlet
Kérdések
Csak mért előny esetén, amely torzított kerékbőllaborTorzított kerékOlyan kerék, amelynek fizikai hibái miatt egyes rekeszek valószínűsége nagyobb, mint 1/37. Ritka, és csak több ezer feljegyzett pörgetéssel mutatható ki.Teljes cikk → vagy időmérő eszközből származik. Szabályos keréken nem.
Mert az előny becslése hibával terhelt, és a túl nagy tét drágább, mint a túl kicsi. A fél-Kelly a növekedés háromnegyedét adja a varianciamatematikaVarianciaAnnak mértéke, mennyire szóródnak az eredmények a várható érték körül. Nagy a teljes számnál, kicsi az egyszerű esélyeknél.Teljes cikk → negyedéért.
Nem. A Kelly-kritérium adott előny mellett optimalizálja a növekedést. A bankrollkezelés előny nélkül tartja kordában a költést.
Játékos matek
Előbb próbáld meg magad. Minden megoldás össze van csukva; nyisd ki, ha készen állsz.
Thorp és Shannon előrejelző eszköze körülbelül 44%-os előnyt adott. Egyetlen előre jelzett számra a Kelly-kritérium a bankrollpénzBankrollA játékra félretett teljes összeg. A bankrollkezelés annak eldöntése, mennyit kockáztatsz belőle tétenként és játékmenetenként.Teljes cikk → 1,26%-át javasolja feltenni. Mi a helyzet, ha ugyanez a 44%-os előny öt szomszédos számra szétosztott egyetlen tétre jutna?
A megoldás megjelenítése
Válasz Akkor a Kelly-kritérium a bankroll 7,1%-át javasolja, és a bankroll majdnem hatszor olyan gyorsan nő: 1000 tét alatt körülbelül 1,25 milliószorosára, szemben a körülbelül 11,5-szeresével.
Egy 44%-os előnyű teljes számtétTeljes számEgyetlen szám, 35:1 arányban fizet.Teljes cikk → 0,04 eséllyel nyer, mert 36 × 0,04 = 1,44. A Kelly-tét az előny osztva a kifizetési aránnyal: 0,44/35 = 1,26%. A tipikus növekedés tétenként 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, így 1000 tét a bankrollt körülbelül e^2,44 ≈ 11,5-szeresére szorozza.
Oszd szét egy tétet öt számra, és a tét 0,20 eséllyel nyer, és 36/5-öt fizet 1-ért, vagyis 6,2 az 1-hez: ez is 44%-os előny, mert 0,2 × 7,2 = 1,44. A Kelly-tét 0,44/6,2 = 7,10% lesz, a tétenkénti növekedés 0,01404, körülbelül 5,75-ször annyi. 1000 tét alatt ez e^14,04, körülbelül 1,25 millió.
Az előny ugyanaz; a kilengések kisebbek. Az ötből egyszer nyerő tét a bankroll nagyobb részét viheti csődkockázat nélkül, és a Kelly-féle növekedés ezt jutalmazza. Thorp (1984) ezzel a példával mutatja meg, miért tesznek az előrejelzők szektorokrakerékSzektorA kerék egymás melletti rekeszekből álló íve, szemben a tablón alkotott csoportokkal.Teljes cikk →. A gyakorlatban öt szomszédtétSzomszédokEgy szám és a keréken mindkét oldalán a két-két szomszédos rekesz, öt teljes számra tett zsetonnal.Teljes cikk → valamivel kisebb előnyt hordoz, mint az egyetlen legjobb szám (lásd az Előnyjáték oldalt).
Egy játékos talált két szomszédos rekesztfelszerelésRekeszA rotor 37 számozott rekeszének egyike. Angolul még: slot, cup.Teljes cikk →, amelyek mindegyike 37-ből 1 helyett 25-ből 1-szer talál. Tegyen a kettő közötti osztott tétretétOsztott tétKét szomszédos szám, 17:1 arányban fizet.Teljes cikk → 17 az 1-hez arányban, vagy mindkét számra teljes számként? Mennyit javasol a Kelly-kritérium, és milyen gyorsan nő a bankroll egyetlen ilyen rekeszhez képest?
A megoldás megjelenítése
Válasz Nincs különbség: a bankroll 2,59%-a az osztott téten, vagy 1,29%-a mindkét számon. A tipikus bankroll 1000 pörgetés alatt körülbelül 155-szörösére nő, szemben az egy rekesszel elérhető 11,5-szeressel.
Az osztott tét 2/25 = 0,08 valószínűséggelmatematikaValószínűségEgy kimenetel esélye, 0-tól 1-ig vagy 0%-tól 100%-ig. Egy szám: 1/37 = 2,70%.Teljes cikk → nyer, és 17 az 1-hez arányban fizet, így feltett egységenkéntpénzEgységAz alaptét, amelyben egy rendszer vagy egy játékos számol. A progressziókat egységekben írják le, hogy bármelyik asztalon alkalmazhatók legyenek.Teljes cikk → 18 × 0,08 = 1,44-et ad vissza: 44%-os előny, ugyanannyi, mint egyetlen torzított rekesz. A Kelly-tét az előny osztva a kifizetési aránnyal: 0,44/17 = 2,59%.
Két egyenként 1,29%-os teljes szám pontosan ugyanazt az eredményt adja. Ha bármelyik szám kijön, az egyik zsetonpénzZsetonRögzített összeget képviselő korong, amelyet a tablóra helyezve teszel tétet. Más néven: cheque.Teljes cikk → 35 az 1-hez nyer, a másik elvész, nettó 34 × 1,29% = a bankroll 44%-a, ahogy az osztott tét fizet; ha egyik sem, mindkettő elvész.
A pörgetésenkénti növekedés 0,00505, szemben az egy rekesz 0,00244-ével, így 1000 pörgetés alatt a tipikus bankroll e^5,046 ≈ 155-szörösére nő, nem pedig e^2,44 ≈ 11,5-szeresére. Két jó szám sokkal többet ér, mint egy kétszer, ezért tesznek a torzításra játszók számcsoportokra. Thorp (1984) ugyanezt az összehasonlítást végzi el.
Egy kis humor
A növekedést maximalizáló rulettét egy szám, amelyet már mindenki ismer.
Források
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”