Hosszú távú konvergencia: A nagy számok törvénye a rulettben
Hogyan áll be az átlag −2,70%-ra, és miért tart ez tovább, mint amit az ösztöneid sugallnak.
A pörgetésenkénti átlagos veszteség a pörgetések gyűlésével −1/37-hez konvergál, a szóródás pedig 1/√N szerint szűkül. 1000 pirosra tett pörgetés után az átlag jellemzően a várható értékétől ±3%-on belül van.
A nagy számok törvénye
Független tétek göngyölített átlaga a várható értékhezmatematikaVárható értékAz egy tétre jutó átlagos eredmény hosszú távon. Minden szabványos európai tétnél a tét −1/37-e.Teljes cikk → tart. N pörgetés után, egyszerű esélyre tett egy-egy egységgelpénzEgységAz alaptét, amelyben egy rendszer vagy egy játékos számol. A progressziókat egységekben írják le, hogy bármelyik asztalon alkalmazhatók legyenek.Teljes cikk →, a pörgetésenkénti átlagos eredmény várható értéke −1/37, szórásamatematikaSzórásA variancia négyzetgyöke; az eredmény jellemző távolsága a várható értéktől.Teljes cikk → 1/√N. N = 100-nál ez a szóródás a tét 10%-a, majdnem négyszerese a 2,7%-os jelnek. N = 1000-nél 3,2%, nagyjából akkora, mint a jel. N = 10 000-nél 1%, és a házelőny már jól látszik. Egy játékmenetben a házelőny láthatatlan, egy év alatt összetéveszthetetlen.
Mi konvergál és mi nem
A pörgetésenkénti átlag konvergál. Az összeg nem: N növekedésével egyre távolabb sodródik a nullától, várhatóan N körülbelül 2,7%-ával, körülötte √N szóródással. Aki 10 000 pörgetést játszott $10-os téttel, annak várhatóan $2700 a vesztesége, plusz-mínusz $1000. A pirosaktétPirosEgyszerű esély a 18 piros számra. Franciául: rouge.Teljes cikk → göngyölített aránya már rég beállt 48,65% közelébe; a göngyölített egyenleg sehol sem állt be.
- p10 −$440
- p25 −$280
- medián −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Miért csal meg az intuíció
Az emberek arra számítanak, hogy a házelőny gyorsan megmutatkozik, mert a 2,70% soknak hangzik, és arra, hogy a hosszú sorozatok „kiegyenlítődnek”, mert a nagy számok törvényematematikaA nagy számok törvényeA független eredmények átlaga a kísérletek számának növekedésével a várható értékhez tart.Teljes cikk → szerint az átlagok konvergálnak. Mindkét intuíció rosszul méri fel a nagyságrendet: a házelőny kicsi egyetlen pörgetés varianciájához (szórásnégyzetéhez)matematikaVarianciaAnnak mértéke, mennyire szóródnak az eredmények a várható érték körül. Nagy a teljes számnál, kicsi az egyszerű esélyeknél.Teljes cikk → képest (σ = 1 egység, EV = 0,027), így (1/0,027)² ≈ 1400 pörgetés kell ahhoz, hogy egy szigma erejéig látható legyen. Az átlag konvergenciája pedig semmit sem húz vissza az összegből; csak felhígítja a múltbeli ingadozásokat.
Konvergencia más téteknél
A teljes számnál (straight up)tétTeljes számEgyetlen szám, 35:1 arányban fizet.Teljes cikk → σ = 5,84, így ugyanez a számítás (5,84/0,027)² ≈ 47 000 pörgetést ad ahhoz, hogy a házelőny elérje az egy szigmát. A teljes számra játszó játékos évekig játszhat úgy, hogy a saját feljegyzéseiben a házelőny nem különböztethető meg a szerencsétől, miközben pontosan ugyanazt a 2,70%-ot fizeti, mint a pirosra játszó, aki néhány hét alatt meglátja.
Mit jelent ez a rendszerek tesztelésére
Aki azt állítja, hogy egy rendszer működik, annak 10 000 vagy több pörgetésen, dokumentált pozitív átlaggal kellene ezt bemutatnia. 1000 pörgetésnél egyszerű esélyen a pozitív átlag a nullhipotézis mellett ötből egyszer előfordul; 100 pörgetésnél szinte pénzfeldobás. Az oldal szimulátorai egy másodperc alatt 2000, általad választott hosszúságú játékmenetet futtatnak le, ami több bizonyíték bármely beszámolónál.
Képlet
Kérdések
Annak valószínűségematematikaValószínűségEgy kimenetel esélye, 0-tól 1-ig vagy 0%-tól 100%-ig. Egy szám: 1/37 = 2,70%.Teljes cikk →, hogy valaha újra nyereségben leszel, a játékkal a nulla felé csökken. Az összeg korlát nélkül sodródik lefelé.
Nem. Azt jelenti, hogy a múltbeli ingadozások egy nagyobb minta kisebb hányadát teszik ki.
Egyszerű esélynél körülbelül 10 000 után válik a házelőny jól láthatóvá. Teljes számnál körülbelül 50 000 után.
Játékos matek
Előbb próbáld meg magad. Minden megoldás össze van csukva; nyisd ki, ha készen állsz.
Két barát 20 kört játszik egy igazságos játékbólmatematikaIgazságos játékOlyan játék, amelyben egyik félnek sincs előnye: minden tét várható értéke nulla.Teljes cikk →, pénzfeldobást vagy pirostétPirosEgyszerű esély a 18 piros számra. Franciául: rouge.Teljes cikk → a feketetétFeketeEgyszerű esély a 18 fekete számra. Franciául: noir.Teljes cikk → ellen, a zérónálkerékZéróAz egyetlen zöld rekesz, amelyet sem egyszerű esély, sem tucat, sem oszlop nem fed le; a házelőny forrása. Más néven: egyetlen zéró, 0.Teljes cikk → visszaadott tétekkel, és vezetik a göngyölített állást. Számold meg mindkettőjüknél azokat a köröket, amelyekben vezet (döntetlennél az számít, aki közvetlenül előtte vezetett). Mi valószínűbb: hogy a vezetés 10:10 arányban oszlik meg, vagy hogy az egyik barát mind a 20 körben vezet?
A megoldás megjelenítése
Válasz Sokkal valószínűbb, hogy az egyik barát mind a 20 körben vezet: 35,2%, bármelyik barátot számítva, szemben a 10:10-es egyenlő megosztás 6,1%-ával.
Annak esélye, hogy egy igazságos göngyölített állás 2k kör után egyenlő, u = C(2k, k)/2²ᵏ: 10 kör után 0,246, 20 után 0,176. Egy klasszikus eredmény, az arkuszszinusz-törvény szerint annak esélye, hogy egy megnevezett barát 2n körből pontosan 2k-ban vezet, u(2k) × u(2n − 2k).
Mind a 20 körben vezetni: u(20) × u(0) = 0,176 mindkét barátnak, bármelyiküknek 35,2%. Egyenlő megosztás: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, az összes megosztás közül a legkevésbé valószínű.
Igazságos játékban tehát a vezetés ritkán cserél gazdát. Aki egész este vezetett, vagy egész este le volt maradva, semmi szokatlant nem látott, és ez semmit sem mond a kerékről vagy a tudásról. Epstein (2013) ugyanezt a törvényt hosszabb játékokra is megadja: az esetek felében a szerencsésebb fél a játék több mint 85%-ában vezet.
Egy kis humor
Az átlag konvergál. Az összeg egyszerűen elmegy.
Források
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.