Feladat: A születésnapi kerék
Hány pörgetés kell ahhoz, hogy valamelyik szám ismétlődjön? Sokkal kevesebb, mint amennyire a legtöbben tippelnek.
A születésnap-probléma egy 37 rekeszesfelszerelésRekeszA rotor 37 számozott rekeszének egyike. Angolul még: slot, cup.Teljes cikk → keréken: már 8 pörgetés után jobb az esély, mint fele-fele, hogy valamelyik szám kétszer jött ki. A játékosok mintázatnak olvassák az ismétlődéseket; pedig ezek egy szabályos kerék várható viselkedései.
A feladat
Pörgess egy szabályos európai kereket. Hány pörgetés után lesz nagyobb egy felénél annak valószínűségematematikaValószínűségEgy kimenetel esélye, 0-tól 1-ig vagy 0%-tól 100%-ig. Egy szám: 1/37 = 2,70%.Teljes cikk →, hogy legalább két pörgetés ugyanazt a számot hozta? A legtöbb játékos 18 vagy 19 körülire tippel, a 37 felére. A válasz 8.
A megoldás
Számold ki annak valószínűségét, hogy nincs ismétlődés, és vond ki egyből. k pörgetés után p(mind különböző) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8 esetén: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, tehát p(van ismétlődés) ≈ 0,56. k = 14 esetén 0,93; k = 20 esetén 0,996. Az intuíció azért téved, mert a pörgetéspárok száma k² szerint nő, és bármely pár egyezhet.
Miért számít ez az asztalnál
Az utolsó 20 számot mutató eredménytáblán szinte mindig van legalább egy ismétlődés, gyakran kettő vagy három. A játékosok látják, hogy „a 17-es tíz pörgetésből kétszer jött ki”, és arra jutnak, hogy a 17-es forró; a születésnapi számítás szerint tíz pörgetésen belül az esetek 74%-ában van ismétlődés, és az ismétlődő szám véletlenszerű. A mintázat valódi; a jelentése nem.
A folytatás
Hány pörgetés kell ahhoz, hogy egy konkrét szám, mondjuk a 17-es, kétszer jöjjön ki? Ez más kérdés, sokkal nagyobb válasszal: a várható várakozás 74 pörgetés, és annak valószínűsége, hogy 20 pörgetésen belül két 17-es jön, nagyjából 10%. A „valamelyik szám ismétlődik” (8 pörgetés) és az „ez a szám ismétlődik” (74 pörgetés) közötti különbség pontosan az a különbség, ami egy utólag észrevett mintázat és egy előre tett jóslat között van.
Próbáld ki
Futtasd a Demójátékot tíz pörgetésre, és nézd meg az előzményeket. Általában lesz ismétlődés. Futtasd újra. Az ismétlődő szám más lesz. Csináld meg tízszer, és láttad a születésnap-problémátmatematikaSzületésnap-problémaHány ember kell ahhoz, hogy kettőnek valószínűleg ugyanarra a napra essen a születésnapja, vagy hány pörgetés kell ahhoz, hogy egy szám valószínűleg megismétlődjön. 37 rekeszes keréken 8 pörgetés elég ahhoz, hogy az esély jobb legyen a fele-felénél.Teljes cikk →; csináld meg ezerszer (a szimulátorok képesek rá), és meg is mérted.
Képlet
Kérdések
Pontosan, csak 365 nap helyett 37 rekesszel. Születésnapoknál 23 ember adja az 50%-ot; a keréknél 8 pörgetés adja az 56%-ot.
Nagyjából 19 pörgetés után 50%. Ez is mindennapos.
Nem. Egy kerék több ezer pörgetése utalhatna rá; egy ismétlődés soha.
Játékos matek
Előbb próbáld meg magad. Minden megoldás össze van csukva; nyisd ki, ha készen állsz.
Egy amerikai kerék mellett álló eredménytábla az utolsó 16 pörgetést mutatja. Mennyire valószínű, hogy egyetlen szám sem szerepel rajta kétszer?
A megoldás megjelenítése
Válasz Nagyjából 2,5%: 40 táblából durván 39 mutat legalább egy ismétlődést.
Haladj pörgetésről pörgetésre. Az első pörgetés bármi lehet. A másodiknak el kell kerülnie: 38-ból 37 esély. A harmadiknak mindkettőt: 38-ból 36. A tizenhatodiknak tizenöt számot: 38-ból 23.
Szorozd össze: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Az ismétlődés nélküli tábla a ritka. Egy ismétlődést mutató tábla semmit sem mond a kerékről.
Egy európai kerék tíz pörgetése alatt mekkora az esélye, hogy a 17-es pontosan ötször jön ki? Hogy valamelyik szám, bármelyik, ötször vagy többször jön ki? És hogy négy pörgetés alatt valamelyik szám legalább háromszor kijön?
A megoldás megjelenítése
Válasz A 17-es pontosan ötször: 315 576-ból 1. Valamelyik szám ötször vagy többször: nagyjából 8333-ból 1. Valamelyik szám háromszor vagy többször négy pörgetésben: 349-ből 1.
A 17-es ötször: válaszd ki, a tíz pörgetés közül melyik öt, 252 mód, mindegyik (1/37)⁵ × (36/37)⁵ eséllyel. Együtt 315 576-ból 1.
Valamelyik szám: a 37 szám mindegyikének 308 325-ből 1 esélye van öt vagy több találatra, ez 308 325-ből 37, azaz 8333-ból 1. Az a ritka eset, amikor két számnak is öt-öt találata van, kétszer számít, de levonása ezen a pontosságon semmit sem változtat.
Háromszor négy pörgetésben: egy számra a 37⁴ lehetséges eredményből 4 × 36 + 1 = 145; a 37 szám bármelyikére 145/37³ = 349-ből 1.
A Wizard of Odds e kérdések duplazéróskerékZéróAz egyetlen zöld rekesz, amelyet sem egyszerű esély, sem tucat, sem oszlop nem fed le; a házelőny forrása. Más néven: egyetlen zéró, 0.Teljes cikk → változatára válaszolt; a mi eredményeink arra a kerékre 359 275-ből 1, 9243-ból 1 és 368-ból 1. A „17” és a „valamelyik szám” közötti különbség megint a születésnap-problémamatematikaSzületésnap-problémaHány ember kell ahhoz, hogy kettőnek valószínűleg ugyanarra a napra essen a születésnapja, vagy hány pörgetés kell ahhoz, hogy egy szám valószínűleg megismétlődjön. 37 rekeszes keréken 8 pörgetés elég ahhoz, hogy az esély jobb legyen a fele-felénél.Teljes cikk →: 37 módon lehet meglepődni.
Egy kis humor
Valami korán ismétlődik. Hogy mi, az véletlen.
Források
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard”, rulettel kapcsolatos kérdések.