A sorozatok valószínűsége a rulettben
Az egyszínű hosszú sorozatok gyakoriak. A következő pörgetés szempontjából ugyanakkor semmit sem jelentenek.
Öt piros egymás után: 2,7%. Tíz: 0,074%. Egy 200 pörgetéses játékmenetben gyakrabban fordul elő hatos egyszínű sorozat, mint nem.
Milyen gyakran jön vesztes sorozat
Egy egyszerű esélyre tett tét egyzérós keréken 37 pörgetésből 19-szer veszít. Minden sor azt mutatja, mekkora az esélye, hogy adott számú pörgetés mind vesztes legyen, és hogy egy Martingale-játékos, aki minden vesztés után duplázik, addig mennyit veszített.
| egymás utáni vesztések | esély | kb. ennyiből 1 | eddigi veszteség | következő tét |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1023 | $1024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2047 | $2048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4095 | $4096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8191 | $8192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Az esély 19/37, önmagával szorozva vesztésenként egyszer, egy adott pörgetéstől számolva. Egy hosszú játékmenetben sok olyan pörgetés van, ahonnan ilyen sorozat indulhat, így egy este alatt sokkal valószínűbb, mint amit egyetlen sor sugall.
Egyetlen sorozat
Annak a valószínűségematematikaValószínűségEgy kimenetel esélye, 0-tól 1-ig vagy 0%-tól 100%-ig. Egy szám: 1/37 = 2,70%.Teljes cikk →, hogy a következő k pörgetés mind pirostétPirosEgyszerű esély a 18 piros számra. Franciául: rouge.Teljes cikk →, (18/37)ᵏ. Kettő: 23,7%. Öt: 2,7%. Tíz: 0,074%, nagyjából 1 az 1350-ből. Húsz: 1 az 1,8 millióból. Huszonhat, a Monte-Carlo-i rekord: 1 a 137 millióból. Ezek egy adott pörgetésnél induló konkrét sorozat esélyei, és szinte senki sem ezt kérdezi valójában.
Egy játékmeneten belül
Amit az emberek valójában kérdeznek: „lesz-e valahol k hosszú sorozat a játékmenetemben?”, és a válasz jóval nagyobb, mint (18/37)ᵏ, mert egy 200 pörgetéses játékmenetben közel 200 helyen indulhat sorozat. Hat vagy több azonos szín, piros vagy feketetétFeketeEgyszerű esély a 18 fekete számra. Franciául: noir.Teljes cikk →, egy 200 pörgetéses játékmenetben az esetek körülbelül 94%-ában előfordul; nyolc vagy több körülbelül 47%-ban; tíz vagy több körülbelül 14%-ban. Ha előre megnevezed a színt, az esélyek csökkennek, nagyjából 75%-ra, 27%-ra és 7%-ra. Aki egy egész estét az asztalnál ül, minden este látni fog hosszú sorozatokat.
Miért számít ez a Martingale-rendszernek
Minden negatív progressziónakstratégiaProgresszióMinden szabály, amely a korábbi eredmények alapján változtatja a tétet. A negatív progressziók veszteség után emelik, a pozitívak nyerés után.Teljes cikk → van egy sorozathossza, amely megtöri: $10-os alaptétről $500-os limit mellett hat veszteség, a Fibonacci-rendszernélstratégiaFibonacciProgresszió, amely az 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… sorozatot követi: veszteség után egy lépés előre, nyerés után két lépés vissza.Teljes cikk → tíz, a tucatokontétTucat1–12, 13–24 vagy 25–36, 2:1 arányban fizet.Teljes cikk → háromszorozásnál öt. Egy hatos vesztes sorozat valószínűsége egyszerű esélyen (19/37)⁶ ≈ 1,8% próbálkozásonként, és egy 200 pörgetéses játékmenetben talán 100 próbálkozás van, így az ilyen hosszú játékmenetek nagyjából öt közül négyében bekövetkezik a törés. A sorozatok valószínűsége az oka annak, hogy a szakadék nem ritka.
Forró és hideg számok
Ugyanez a számtan érvényes a teljes számokratétTeljes számEgyetlen szám, 35:1 arányban fizet.Teljes cikk → (straight up) is. 300 pörgetésben számonként a várható darabszám 8,1; a szórásmatematikaSzórásA variancia négyzetgyöke; az eredmény jellemző távolsága a várható értéktől.Teljes cikk → körülbelül 2,8. Pusztán a véletlen miatt valamelyik szám 15 találatot fog mutatni, valamelyik 2-t, minden alkalommal. Egy „forró” számokat kiemelő eredménytábla egy normális eloszlás tetejét emeli ki. A Labor elmagyarázza, hány pörgetés kell ahhoz, hogy egy forró számtévhitForró számOlyan szám, amely az utóbbi időben a vártnál gyakrabban jött ki. Szabályos keréken semmit sem jelez előre.Teljes cikk → bármit is jelentsen (több ezer, egyetlen azonosított keréktől).
A függetlenség a lényeg
Tíz piros egymás után nem teszi valószínűbbé a feketét, és a pirosat sem. Mindkettő 18/37. A sorozatok a véletlen sorrendek természetes velejárói, és épp a hiányuk volna gyanús: egy 200 pörgetésből álló sorrend, amelyben egyik sorozat sem hosszabb négynél, sokkal erősebb bizonyítéka volna a manipulációnak, mint egy tizenkettes sorozatot tartalmazó.
Képlet
Kérdések
A híres eset a 26 fekete Monte-Carlóban, 1913. augusztus 18-án. Egy amerikai kaszinóból 1943-ban 32 egymást követő pirosat jelentettek. Mindkettő összefér a véletlennel, tekintve, hány pörgetést futtatnak a kaszinók.
Mindkét esetben 18/37. Arra tegyél, amit a terved mond, vagy semmire.
Nem. A torzítás abban mutatkozik meg, hogy bizonyos rekeszekfelszerelésRekeszA rotor 37 számozott rekeszének egyike. Angolul még: slot, cup.Teljes cikk → több ezer pörgetés alatt gyakrabban jönnek ki, nem egy szín sorozataiban.
Játékos matek
Előbb próbáld meg magad. Minden megoldás össze van csukva; nyisd ki, ha készen állsz.
Átlagosan hány pörgetés kell egy európai keréken ahhoz, hogy mind a 37 szám legalább egyszer kijöjjön?
A megoldás megjelenítése
Válasz Átlagosan körülbelül 155 pörgetés; a medián 147.
Számold a várakozást új számonként. Az első pörgetés mindig új számot mutat. Ha már 1 számot láttál, a 37 rekeszbőlfelszerelésRekeszA rotor 37 számozott rekeszének egyike. Angolul még: slot, cup.Teljes cikk → 36 új, így a következő új szám átlagosan 37/36 pörgetést vesz igénybe. Ha már k számot láttál, 37/(37 − k)-t.
Add össze a várakozásokat: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 pörgetés.
Ennek nagy része a vége. Csak az utolsó szám átlagosan 37 pörgetést vesz igénybe, az utolsó öt körülbelül 85-öt. Amerikai keréken ugyanez az összeg körülbelül 161. Ez a kupongyűjtő-probléma; a Wizard of Odds ugyanezt az átlagot adja.
Egy európai kerék 37 pörgetése alatt, rekeszenként egy pörgetéssel, hány különböző számra számíthatsz?
A megoldás megjelenítése
Válasz Körülbelül 23,6-ra. A számok nagyjából harmada, körülbelül 13, egyáltalán nem jön ki.
Vegyünk egy számot, mondjuk a 17-est. Minden pörgetésen 36/37 eséllyel nem jön ki, így mind a 37 pörgetést (36/37)³⁷ ≈ 0,363 eséllyel kihagyja.
Minden számnak ugyanekkora az esélye, így átlagosan 37 × 0,363 ≈ 13,4 szám marad ki, és 37 − 13,4 ≈ 23,6 jön ki, sok közülük kétszer vagy többször.
A rulettjátékosok ezt a harmadok törvényének hívják. Nem törvény, csak az ismétlődések számtana: egy kerékhosszúságú sorozatban a számok körülbelül harmada kimarad, szabályos keréken ugyanúgy, mint bármely másikon. 38 rekeszen az arány szintén (37/38)³⁸ ≈ 0,363; nagy keréken 1/e ≈ 0,368 körül állapodik meg.
Egy barátod mutat két listát 50 színnel, pirostétPirosEgyszerű esély a 18 piros számra. Franciául: rouge.Teljes cikk → vagy feketetétFeketeEgyszerű esély a 18 fekete számra. Franciául: noir.Teljes cikk →, állítólag mindkettő egy keréktől származik, a zérókkerékZéróAz egyetlen zöld rekesz, amelyet sem egyszerű esély, sem tucat, sem oszlop nem fed le; a házelőny forrása. Más néven: egyetlen zéró, 0.Teljes cikk → nélkül. Az egyik 25-ször vált színt, és leghosszabb sorozata hat. A másik 35-ször vált, és soha nem megy háromnál tovább. Melyiket találták ki?
A megoldás megjelenítése
Válasz A másodikat. Egy valódi lista körülbelül 24-25-ször vált. A 35 váltásos lista körülbelül 500 listából egyszer fordul elő, az olyan, amelyben nincs háromnál hosszabb sorozat, 100-ból körülbelül kétszer.
Minden új szín vagy megismétli az előzőt, vagy vált, fele-fele arányban, így 49 váltási lehetőség átlagosan 24,5 váltást ad, plusz-mínusz körülbelül 3,5-öt. A harmincöt három ilyen lépéssel az átlag fölött van; szabályos kerék körülbelül 500 listából egyszer produkál ennyi váltást.
A sorozatok ugyanezt mondják. Egy valódi 50-es listában az esetek körülbelül 98%-ában van legalább négyes sorozat, és a leghosszabb sorozat leggyakrabban öt vagy hat.
Az emberek, akiket véletlen lista kitalálására kérnek, túl gyakran váltanak, mert egy négyes-ötös sorozat mintázatnak tűnik nekik. Taylor (2021) ugyanezt az árulkodó jelet mutatja ki a diákok által kitalált pénzfeldobás-listákban: a valódi véletlen sorozatosabb, mint ahogy az emberek várják.
Egy kaszinótörténeteket gyűjtő könyv beszámol egy játékosról, akinek a száma ötször jött ki egymás után, és ezt rekordnak nevezi. Mennyire ritka ez egy európai keréken? És milyen gyakran kellene előfordulnia valahol egy olyan kaszinóban, ahol 20 asztal mindegyike óránként 40-szer pörget, éjjel-nappal?
A megoldás megjelenítése
Válasz Egy előre megnevezett szám ötször egymás után: 69 millióból 1. Bármely szám, amely első megjelenése után még négyszer kijön: 1,87 millióból 1. Az a kaszinó évente körülbelül 7 milliót pörget, így évente háromszor-négyszer kellene ötös sorozatot látnia.
Egy megnevezett szám minden pörgetésen 1/37 eséllyel jön ki, így ötször egymás után (1/37)⁵ = 69 343 957-ből 1 eséllyel. De senki sem nevezi meg előre a számot. Bármi jön ki elsőre, a következő négy pörgetésnek meg kell ismételnie: (1/37)⁴ = 1 874 161-ből 1.
20 asztal × 40 pörgetés × 24 óra × 365 nap = évi 7 008 000 pörgetés. Minden pörgetés elindíthat egy sorozatot, így a kaszinó évente 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 ötös sorozatra számíthat.
Ilyen hivatalos rekord nem létezik, és nincs is rá szükség: ami egy asztalnál ritka esemény, az egy egész kaszinóban mindennapos, és a történeteket arról az asztalról mesélik, ahol megtörtént. A történet Goldman (2007) könyvében duplazérós keréken játszódik, ahol a számok 79 millióból 1 és 2,09 millióból 1.
Egy kis humor
A véletlen így néz ki: hosszú sorozatokkal.
Források
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.