A szerencsejátékos tévedése
Az a hit, hogy egy eredmény „esedékes”, mert egy ideje nem jött ki.
Tíz piros után a fekete valószínűsége továbbra is 18/37. A kerék nem vezet nyilvántartást, és nem tartozik semmivel.
A tévedés
Ha tízszer jött ki pirostétPirosEgyszerű esély a 18 piros számra. Franciául: rouge.Teljes cikk →, sok játékos úgy érzi, hogy a feketetétFeketeEgyszerű esély a 18 fekete számra. Franciául: noir.Teljes cikk → „esedékes”, és arra tesz. Mások úgy érzik, hogy a piros „forró”, és arra tesznek. Mindkét csoport egy már lezárult sorrendből következtet egy még meg sem történt pörgetésre. A golyófelszerelésGolyóA kis golyó, amelyet a rotor forgásával szemben indítanak el a pályán. A modern golyók ivorinból vagy teflonból készülnek, 18–21 mm-esek.Teljes cikk → nem tudja, mi volt az utolsó tíz pörgetés; a rekeszekfelszerelésRekeszA rotor 37 számozott rekeszének egyike. Angolul még: slot, cup.Teljes cikk → ugyanakkorák, mint egy órája; a fekete valószínűségematematikaValószínűségEgy kimenetel esélye, 0-tól 1-ig vagy 0%-tól 100%-ig. Egy szám: 1/37 = 2,70%.Teljes cikk → 18/37, mint mindig.
Miért tűnik igaznak
Hosszú távon a piros és a fekete aránya valóban 18/37-hez tart mindkettőnél. Ezt a nagy számok törvényematematikaA nagy számok törvényeA független eredmények átlaga a kísérletek számának növekedésével a várható értékhez tart.Teljes cikk → garantálja. A közeledés azonban hígulással történik, nem korrekcióval: újabb 1000 pörgetés után a tíz többletpiros már csak kerekítési hiba az arányban, nem azért, mert a fekete behozta a lemaradást, hanem mert nőtt a minta. Nincs olyan mechanizmus, amely valószínűbbé tenné a feketét, és a nagy számok törvényének nincs is szüksége ilyenre.
Monte-Carlo, 1913. augusztus 18.
A Casino de Monte-Carlo egyik asztalánál a fekete 26-szor jött ki egymás után. Nagyjából a tizenötödik feketétől a játékosok tömegesen tettek pirosra, duplázva és újra duplázva, minden pörgetést „biztosabbnak” érezve az előzőnél. A kaszinó frankmilliókat nyert. A sorozat valószínűsége az első feketétől számítva 1 volt a 137 millióból, annak a valószínűsége pedig, hogy a világ kaszinóiban valahol egyszer bekövetkezik, gyakorlatilag egy. Ezért nevezik a szerencsejátékos tévedését Monte-Carlo-tévedésnek is.
Semmi különös. 44-ből egyszer megtörténik.
A játékosok kezdenek felfigyelni. A piros „esedékes”.
Az asztal körül tömeg. A pirosra tett téteket minden veszteség után megduplázzák.
Vagyonok vesznek oda. Minden újabb fekete után biztosabbnak tűnik a piros.
A sorozat véget ér. A kaszinó frankmilliókat nyert olyanokon, akik egy olyan sorozat ellen tettek, amely nem „tudhatta”, hogy sorozat.
A forró kéz
Egy színre azért tenni, mert sorozatban van, ugyanaz a hiba fordítva: azt várjuk, hogy a sorozat folytatódjon, ne pedig véget érjen. A pszichológusok ezt forró kéznektévhitForró kézAz a hiedelem, hogy a nyerések vagy egy bizonyos eredmény sorozata valószínűbbé teszi a következőt. A keréknél ez a szerencsejátékos tévedése megfordítva.Teljes cikk → nevezik Gilovich, Vallone és Tversky 1985-ös tanulmánya nyomán, amely kosárlabda-dobásokban kereste a sorozatokat, és a véletlenen túl semmit sem talált. 2018-ban Miller és Sanjurjo kimutatta, hogy maga a próba volt elferdítve: egy rövid adatsorban a találat utáni találatok aránya átlagosan a dobó összesített aránya alá esik, így egy forró kéz nélküli játékos kissé hidegnek látszik. A korrekció után ugyanazok az adatok mérsékelt forró kezet mutatnak. Egy ember bemelegedhet; egy keréknek nincs formája. Egyes játékosok egyszerre mindkettőt hiszik: a sorozat addig tart, amíg „túl hosszú” nem lesz, aztán véget ér. Szabályos keréken mindegyik változat várható értékematematikaVárható értékAz egy tétre jutó átlagos eredmény hosszú távon. Minden szabványos európai tétnél a tét −1/37-e.Teljes cikk → ugyanaz, mintha pénzfeldobással választanád a színt: a tét −2,70%-a.
Egy valódi asztalnál
Croson és Sundali (2005) 18 órányi biztonsági kamerafelvételt nézett végig egy nagy renói kaszinó egyetlen dupla zéróskerékZéróAz egyetlen zöld rekesz, amelyet sem egyszerű esély, sem tucat, sem oszlop nem fed le; a házelőny forrása. Más néven: egyetlen zéró, 0.Teljes cikk → asztaláról: 139 játékos 24 131 tétjét. Az egyszerű esélyekentétEgyszerű esélyPiros/fekete, páratlan/páros, nagy/kicsi. 18 szám, 1:1 arányban fizet.Teljes cikk → a játékosok nagyjából fele-fele arányban követték a rövid sorozatokat, illetve tettek ellenük. Öt egyforma eredmény után a sorozat ellen hajlottak, hat vagy több után pedig tétjeik 85%-a a másik oldalra került. Ugyanezek a játékosok magukkal kapcsolatban a forró kézben hittek: egy nyerés után a következő pörgetésen átlagosan 13,6 számot fedtek le, egy veszteség után 9,2-t. A kerekük semmilyen torzítás jelét nem mutatta, így mindez semmit sem változtatott azon, mire számíthattak.
A kaszinón kívül
Ugyanez a húzóerő ott is megjelenik, ahol valódi döntések születnek. Clotfelter és Cook (1993) Maryland napi számsorsolását követte: egy számra tett pénz meredeken csökkent, amint kihúzták, és hónapokig tartott, mire helyreállt, pedig a húzásnak nincs emlékezete. Chen, Moskowitz és Shue (2016) szakembereknél is megtalálta. Az amerikai menekültügyi bírák akár 3,3 százalékponttal nagyobb valószínűséggel utasítottak el egy ügyet, ha az előzőnek helyt adtak. A baseball-játékvezetők 1,5 ponttal kisebb valószínűséggel ítéltek strike-ot, ha az előzőt annak ítélték, szoros dobásoknál pedig több mint kétszer ennyivel. Egy terepkísérletben, ahol a hitelügyintézők fix díjat kaptak, a döntések akár 9%-a fordult meg így. Az ügyek véletlen sorrendben érkeztek, így az utolsó döntés semmit sem mondott a következőről, ahogy az utolsó pörgetés sem mond semmit a következőről.
A szerencsejátékos fordított tévedése
Ian Hacking filozófus (1987) egy harmadik változatot is elnevezett. Valaki belép egy szobába, látja, hogy egy kockapár dupla hatost mutat, és arra következtet, hogy biztosan sokszor dobtak már vele. Minden dobás egyforma valószínűséggel dupla hatos, legyen az az este első vagy ezredik dobása, így a látvány semmit sem árul el arról, mióta tart a játék. A rulettnél ez az a játékos, aki egy nyolc pirosat mutató táblához érkezik, és úgy dönt, hogy az asztalnak órák óta pörögnie kellett ahhoz, hogy ez kijöjjön. A közönséges tévedés a múltat olvassa bele a következő pörgetésbe; ez egy ritka látványt olvas bele egy múltba, amelyet senki sem látott.
Egy pszichológus, aki hitt benne
A tévedésnek tudós védelmezői is akadtak. Karl Marbe német pszichológus négy, egyenként 49 152 születést tartalmazó anyakönyvet nézett át, azt találta, hogy a fiúk vagy lányok leghosszabb egymást követő sorozata 17 volt, és arra jutott, hogy a hosszú sorozatok ritkábbak, mint amit a véletlen megenged, vagyis egy sorozat a másik kimenetelt teszi valószínűbbé. A puszta véletlen mást mond: 196 608 születésben egy legalább 17 hosszú sorozat ötből négyszer előfordul. Marbe pontosan azt találta, aminek egy véletlen sorrend látszik. Epstein (2013) újra elmeséli az esetet; A sorozatok valószínűsége oldal a rulettes változatot mutatja be.
Ahol a tévedés nem érvényes
Ha a kerék fizikailag torzított volna, a korábbi pörgetések informatívak lennének, mert a rekeszekről szolgáltatnának bizonyítékot, nem a szerencséről. Ez a Labor témája, és több ezer pörgetés kell egyetlen azonosított keréktől ahhoz, hogy bármit is mondani lehessen. Egy ismeretlen keréken látott, tíz pirosból álló sorozatnál a torzítás sokkal kevésbé valószínű magyarázat, mint a véletlen.
Kérdések
Nem. Minden független, ismétlődő eseményre vonatkozik: kockára, érmére, lottószámokra.
Az arányok közel kerülnek egymáshoz. Az eredményed továbbra is a megtett tétjeid körülbelül −2,70%-a lesz.
Nincs átlagok törvénye. A nagy számok törvénye létezik, és hígulással működik.
Játékos matek
Előbb próbáld meg magad. Minden megoldás össze van csukva; nyisd ki, ha készen állsz.
10 dobás után egy érme 7 fejet és 3 írást mutat. 1000 dobás után 517 fejet és 483 írást. Felzárkóztak az írások?
A megoldás megjelenítése
Válasz Nem. A különbség 4-ről 34-re nőtt. Csak az arány közelített a fele-feléhez.
A fejek és írások aránya 7/3-ról, nagyjából 2,33-ról, 517/483-ra, nagyjából 1,07-re csökkent. Ez a nagy számok törvényematematikaA nagy számok törvényeA független eredmények átlaga a kísérletek számának növekedésével a várható értékhez tart.Teljes cikk → működés közben.
A köztük lévő különbség viszont nőtt, 4-ről 34-re. Szabályos érmével 1000 dobás után a 30 körüli különbség teljesen szokásos: a jellemző különbség nagyjából a dobások számának négyzetgyökével nő, az arány pedig az 1 felé áll be.
Semmi sem húzta vissza az írásokat. A fejek korai többletét a következő 990 dobás felhígította, nem korrigálta.
Dobj fel egy érmét négyszer, és csak azokat a dobásokat nézd, amelyek közvetlenül egy fej után jönnek. Ezek mekkora hányada fej? Számold ki mind a 16 lehetséges sorozatra, és vedd a hányadok átlagát. 50% jön ki?
A megoldás megjelenítése
Válasz Nem. 17/42, nagyjából 40,5%. Így nézve egy szabályos érme fej után mintha kihűlne.
Írd fel a 16 sorozatot (F = fej, Í = írás). Kettőben, az ÍÍÍÍ-ben és az ÍÍÍF-ben, nincs fej az első három dobás között, így semmi sem követ fejet; marad 14.
Mindegyikben vedd a fej utáni dobásokat, és nézd meg, mekkora hányaduk fej. Az FFFF 3-ból 3-at ad. Az FFFÍ 3-ból 2-t. Az FÍFÍ 2-ből 0-t. Mind a 14-en végigmenve: hat sorozat 0-t ad, négy 1/2-et, egy 2/3-ot és három 1-et (FFFF, ÍFFF és ÍÍFF).
Add össze a hányadokat: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Oszd el 14-gyel: 17/42 ≈ 40,5%.
Egyik dobás sem kedvez az írásnak; mindegyik 50–50. A torzulás abból jön, hogy sorozatonként átlagolunk: egy fejekkel teli sorozatban sok megnézendő dobás van, mégis csak egyszer számít, ugyanúgy, mint egy olyan sorozat, amelyben csak egy ilyen dobás van. Miller és Sanjurjo (2018) kimutatta, hogy az 1985-ös „forró kéz” vizsgálat így mérte a kosárlabdázóit, így azok a játékosok, akik nem tűntek a véletlennél sorozatosabbnak, valójában valamivel sorozatosabbak voltak.
Egy kis humor
Hígulás, nem korrekció. A kerék nem tartozik semmivel.
Források
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”